文章目录
随机事件与概率一维随机变量及分布分布函数的性质离散型随机变量的分布律与分布函数连续型随机变量的性质常见分布期望方差
宇哥笔记随机事件与概率古典概型定义随机分配(占位)简单随机抽样
几何概型重要公式
一维随机变量及其分布随机变量与分布函数离散型随机变量连续型随机变量X~F(x)八个常见分布
多元随机变量及其分布概念用分布求概率
数字特征概念数学期望与方差协方差与相关系数
例题
大数定律与中心极限定理依概率收敛三个定律与两个定理大数定律中心极限定理
数理统计初步总体与样本点估计
随机事件与概率
1.
排
列
组
合
排
列
A
n
r
=
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
r
+
1
)
从
n
个
不
同
的
元
素
中
任
取
r
个
，
按
一
定
顺
序
排
成
一
列
组
合
C
n
r
=
n
!
(
n
−
r
)
!
r
!
=
A
n
r
r
!
从
n
个
不
同
的
元
素
中
任
取
r
个
，
不
计
顺
序
排
成
一
组
2.
五
大
公
式
加
法
公
式
：
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
减
法
公
式
：
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
乘
法
公
式
：
P
(
A
B
)
+
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
全
概
率
公
式
：
P
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
逆
概
率
公
式
：
P
(
A
j
∣
B
)
=
P
(
A
j
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
j
)
P
(
B
∣
A
j
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P
(
B
∣
A
i
)
3.
条
件
概
率
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
⟹
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
∣
A
)
4.
独
立
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
5.
伯
努
利
试
验
P
(
X
=
k
)
=
C
N
K
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
\begin{aligned} 1.&\color{red}{排列组合}\\ &排列A_n^r=n(n-1)\cdots(n-r+1)\\ &从n个不同的元素中任取r个，按一定顺序排成一列\\ &组合C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{A_n^r}{r!}\\ &从n个不同的元素中任取r个，不计顺序排成一组\\ 2.&\color{red}{五大公式}\\ &加法公式：P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ &减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)\\ &乘法公式：P(AB)+P(A)P(B|A)\\ &全概率公式：P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)\\ &逆概率公式：P(A_j|B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}\\ 3.&\color{red}{条件概率}\\ &P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\implies P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)\\ 4.&\color{red}{独立}\\ &P(AB)=P(A)P(B)\\ 5.&\color{red}{伯努利试验}\\ &P(X=k)=C_N^Kp^k(1-p)^{n-k}\\ \end{aligned}
1.2.3.4.5.排列组合排列Anr=n(n−1)⋯(n−r+1)从n个不同的元素中任取r个，按一定顺序排成一列组合Cnr=(n−r)!r!n!=r!Anr从n个不同的元素中任取r个，不计顺序排成一组五大公式加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)减法公式：P(A−B)=P(A)−P(AB)乘法公式：P(AB)+P(A)P(B∣A)全概率公式：P(A)=i=1∑nP(Bi)P(A∣Bi)逆概率公式：P(Aj∣B)=P(B)P(AjB)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(Aj)P(B∣Aj)条件概率P(B∣A)=P(A)P(AB)⟹P(AB)=P(A)⋅P(B∣A)独立P(AB)=P(A)P(B)伯努利试验P(X=k)=CNKpk(1−p)n−k
一维随机变量及分布
分布函数的性质
1.
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
,
记
为
F
(
−
∞
)
=
0
,
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
=
1
,
记
为
F
(
+
∞
)
=
1
2.
F
(
x
)
是
单
调
非
减
函
数
3.
F
(
x
)
是
右
连
续
函
数
，
F
(
x
+
0
)
=
F
(
x
)
若
x
∈
D
为
一
随
机
事
件
，
则
其
概
率
为
P
(
x
∈
D
)
=
∫
D
f
(
x
)
d
x
\begin{aligned} &1.\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,记为F(-\infty)=0,\lim_{x\to+\infty}F(x)=1,记为F(+\infty)=1\\ &2.F(x)是单调非减函数\\ &3.F(x)是右连续函数，F(x+0)=F(x)\\ &若x\in D为一随机事件，则其概率为P(x\in D)=\int_Df(x)dx\\ \end{aligned}
1.x→−∞limF(x)=0,记为F(−∞)=0,x→+∞limF(x)=1,记为F(+∞)=12.F(x)是单调非减函数3.F(x)是右连续函数，F(x+0)=F(x)若x∈D为一随机事件，则其概率为P(x∈D)=∫Df(x)dx
离散型随机变量的分布律与分布函数
x
1
2
3
P
0.1
0.5
0.4
F
(
x
)
=
{
0
,
x
<
1
0.1
,
1
≤
x
<
2
0.6
,
2
≤
x
<
3
1
,
3
≤
x
\begin{aligned} & \begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.1 & 0.5 & 0.4 \end{array}\\ &F(x)=\begin{cases}0,x<1\\0.1,1\leq x<2\\0.6,2\leq x<3\\1,3\leq x\end{cases} \end{aligned}
xP10.120.530.4F(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧0,x<10.1,1≤x<20.6,2≤x<31,3≤x
连续型随机变量的性质
1.
f
(
x
)
≥
0
2.
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
3.
对
于
∀
x
1
<
x
2
,
P
(
x
1
<
x
≤
x
2
)
=
∫
x
1
x
2
f
(
t
)
d
t
4.
f
(
x
)
在
连
续
点
处
可
导
，
即
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
常
考
的
两
个
积
分
{
∫
0
+
∞
x
n
e
−
x
d
x
=
n
!
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
\begin{aligned} &1.f(x)\geq0\\ &2.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\\ &3.对于\forall x_1< x_2,P(x_1< x\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\\ &4.f(x)在连续点处可导，即F'(x)=f(x)\\ &常考的两个积分\begin{cases}\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!\\\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\end{cases} \end{aligned}
1.f(x)≥02.∫−∞+∞f(x)dx=13.对于∀x1 常见分布 离 散 型 定 义 0 与 1 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k P ( X = k ) = λ k e − λ k ! 称 呼 0 − 1 分 布 二 项 分 布 泊 松 分 布 记 号 X ∼ B ( 1 , p ) X ∼ B ( n , p ) X ∼ P ( λ ) 参 数 p p λ 背 景 一 次 伯 努 利 试 验 成 功 或 失 败 的 次 数 n 次 伯 努 利 试 验 成 功 k 次 ， 失 败 n − k 次 例 如 每 天 收 到 电 话 、 短 信 的 次 数 E X p n p λ D X p ( 1 − p ) n p ( 1 − p ) λ 连 续 型 定 义 f ( x ) = { 1 b − a , a ≤ x ≤ b 0 , 其 他 f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 ( λ > 0 ) f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 称 呼 均 匀 分 布 指 数 分 布 正 态 分 布 记 号 X ∼ U [ a , b ] X ∼ E ( λ ) X ∼ N ( μ , σ 2 ) 参 数 a , b λ μ , σ 背 景 等 公 交 、 地 铁 、 电 梯 反 映 使 用 寿 命 、 生 命 特 征 的 现 象 考 试 成 绩 的 分 布 E X a + b 2 1 λ μ D X ( b − a ) 2 12 1 σ 2 σ 2 特 殊 P ( x > t ) = e − λ t ( t > 0 ) X ∼ N ( 0 , 1 ) → φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \begin{aligned} &\color{red}{离散型}\\ & \begin{array}{c|c|c|c} 定义 & 0与1 & P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} & P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ \hline 称呼 & 0-1分布 & 二项分布 & 泊松分布 \\\hline 记号 & X\sim B(1,p) & X\sim B(n,p) & X\sim P(\lambda) \\\hline 参数 & p & p & \lambda\\\hline 背景 & 一次伯努利试验成功或失败的次数 & n次伯努利试验成功k次，失败n-k次 & 例如每天收到电话、短信的次数\\\hline EX & p & np & \lambda \\\hline DX & p(1-p) & np(1-p) & \lambda \\ \end{array}\\ &\color{red}{连续型}\\ & \begin{array}{c|c|c|c} 定义 & f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},a\leq x\leq b\\0,其他\end{cases} & f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\0,x\leq 0\end{cases}(\lambda>0) & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\ \hline 称呼 & 均匀分布 & 指数分布 & 正态分布 \\\hline 记号 & X\sim U[a,b] & X\sim E(\lambda) & X\sim N(\mu,\sigma^2) \\\hline 参数 & a,b & \lambda & \mu,\sigma\\\hline 背景 & 等公交、地铁、电梯 & 反映使用寿命、生命特征的现象 & 考试成绩的分布\\\hline EX & \frac{a+b}2 & \frac1\lambda & \mu \\\hline DX & \frac{(b-a)^2}{12} & \frac1{\sigma^2} & \sigma^2 \\\hline 特殊 & & P(x>t)=e^{-\lambda t}(t>0) & X\sim N(0,1)\to\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2} \end{array} \end{aligned} 离散型定义称呼记号参数背景EXDX0与10−1分布X∼B(1,p)p一次伯努利试验成功或失败的次数pp(1−p)P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k二项分布X∼B(n,p)pn次伯努利试验成功k次，失败n−k次npnp(1−p)P(X=k)=k!λke−λ泊松分布X∼P(λ)λ例如每天收到电话、短信的次数λλ连续型定义称呼记号参数背景EXDX特殊f(x)={b−a1,a≤x≤b0,其他均匀分布X∼U[a,b]a,b等公交、地铁、电梯2a+b12(b−a)2f(x)={λe−λx,x>00,x≤0(λ>0)指数分布X∼E(λ)λ反映使用寿命、生命特征的现象λ1σ21P(x>t)=e−λt(t>0)f(x)=2π σ1e−2σ2(x−μ)2正态分布X∼N(μ,σ2)μ,σ考试成绩的分布μσ2X∼N(0,1)→φ(x)=2π 1e−2x2 期望方差 期 望 : E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x d [ F ( x ) ] = { ∑ i x i p i , X 为 离 散 型 随 机 变 量 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x , X 为 连 续 型 随 机 变 量 若 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 已 知 ， 则 随 机 变 量 函 数 g ( x ) 的 数 学 期 望 为 E ( g ( X ) ) = { ∑ i g ( x i ) p i , X 为 离 散 型 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x , X 为 连 续 型 性 质 : E ( c ) = C E ( c X ) = C E ( X ) E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) 方 差 : D ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = { ∑ i [ x i − E ( X ) ] 2 p i , 当 X 为 离 散 型 时 ∫ − ∞ + ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x , 当 X 为 连 续 型 时 性 质 : D ( c ) = 0 D ( c X ) = C 2 D ( X ) D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) − 2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } D ( X ) = e ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ( 独 立 ) \begin{aligned} 期望:&E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xd[F(x)]=\begin{cases}\sum_ix_ip_i,X为离散型随机变量\\\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx,X为连续型随机变量\end{cases}\\ &若随机变量X的概率分布已知，则随机变量函数g(x)的数学期望为E(g(X))=\begin{cases}\sum_ig(x_i)p_i,X为离散型\\\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx,X为连续型\end{cases}\\ 性质:&E(c)=C\quad E(cX)=CE(X)\quad E(X+Y)=E(X)+E(Y)\quad E(XY)=E(X)E(Y)\\ 方差:&D(X)=E[X-E(X)]^2=\begin{cases}\sum_i[x_i-E(X)]^2p_i,当X为离散型时\\\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx,当X为连续型时\end{cases}\\ 性质:&D(c)=0\quad D(cX)=C^2D(X)\\ &D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\\ &D(X)=e(X^2)-[E(X)]^2\quad D(X+Y)=D(X)+D(Y)(独立) \end{aligned} 期望:性质:方差:性质:E(x)=∫−∞+∞xd[F(x)]={∑ixipi,X为离散型随机变量∫−∞∞xf(x)dx,X为连续型随机变量若随机变量X的概率分布已知，则随机变量函数g(x)的数学期望为E(g(X))={∑ig(xi)pi,X为离散型∫−∞∞g(x)f(x)dx,X为连续型E(c)=CE(cX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)D(X)=E[X−E(X)]2={∑i[xi−E(X)]2pi,当X为离散型时∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx,当X为连续型时D(c)=0D(cX)=C2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)−2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}D(X)=e(X2)−[E(X)]2D(X+Y)=D(X)+D(Y)(独立) 宇哥笔记 随机事件与概率 古典概型 定义 [ 定 义 ] 若 Ω 中 有 有 限 个 、 等 可 能 的 样 本 点 ， 称 为 古 典 概 型 即 P ( A ) = A 中 样 本 点 个 数 Ω 中 样 本 点 数 [ 注 ] 1. 试 验 ( E ) 同 条 件 下 可 重 复 ； 试 验 结 果 不 止 一 个 ； 试 验 前 不 知 哪 个 结 果 会 出 现 2. Ω — — 样 本 空 间 — — 所 有 可 能 结 果 ； ω — — 样 本 点 [ 例 ] P ( 掷 出 奇 数 点 ) = 1 2 \begin{aligned} \ [定义]&若\Omega中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型\\ &即P(A)=\frac{A中样本点个数}{\Omega中样本点数}\\ [注]&1.试验(E)同条件下可重复；试验结果不止一个；试验前不知哪个结果会出现\\ &2.\Omega——样本空间——所有可能结果；\omega——样本点\\ [例]&P(掷出奇数点)=\frac12\\ \end{aligned} [定义][注][例]若Ω中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型即P(A)=Ω中样本点数A中样本点个数1.试验(E)同条件下可重复；试验结果不止一个；试验前不知哪个结果会出现2.Ω——样本空间——所有可能结果；ω——样本点P(掷出奇数点)=21 随机分配(占位) [ 例 ] 设 n 个 球 随 机 放 入 N ( n ≤ N ) 个 盒 子 中 ， 每 个 盒 子 可 放 任 意 多 个 球 ， 求 ( 1 ) A = { 某 指 定 n 个 盒 子 各 有 一 球 } ( 2 ) B = { 恰 有 n 个 盒 子 各 有 一 球 } ( 1 ) P ( A ) = n ⋅ ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ 1 N n = n ! N n ( 2 ) P ( B ) = C N n ⋅ n ! N n [ 注 ] 类 比 : 12 个 人 ， 每 个 人 在 365 天 出 生 等 可 能 ( 1 ) A = { 生 日 分 别 为 每 个 月 的 第 一 天 } ⟹ P ( A ) = 12 ! 36 5 12 ( 2 ) B = { 生 日 全 不 相 同 } ⟹ P ( B ) = C 365 12 ⋅ 12 ! 36 5 12 B ‾ = { 至 少 两 个 人 生 日 相 同 } ⟹ P ( B ‾ ) = 1 − P ( B ) \begin{aligned} \ [例]&\color{maroon}设n个球随机放入N(n\leq N)个盒子中，每个盒子可放任意多个球，求\\ &\color{maroon}(1)A=\{某指定n个盒子各有一球\}\\ &\color{maroon}(2)B=\{恰有n个盒子各有一球\}\\ &(1)P(A)=\frac{n\cdot(n-1)(n-2)\cdots1}{N^n}=\frac{n!}{N^n}\\ &(2)P(B)=\frac{C_N^n\cdot n!}{N^n}\\ [注]&类比:12个人，每个人在365天出生等可能\\ &(1)A=\{生日分别为每个月的第一天\}\implies P(A)=\frac{12!}{365^{12}}\\ &(2)B=\{生日全不相同\}\implies P(B)=\frac{C_{365}^{12}\cdot 12!}{365^{12}}\\ &\quad \overline{B}=\{至少两个人生日相同\}\implies P(\overline{B})=1-P(B)\\ \end{aligned} [例][注]设n个球随机放入N(n≤N)个盒子中，每个盒子可放任意多个球，求(1)A={某指定n个盒子各有一球}(2)B={恰有n个盒子各有一球}(1)P(A)=Nnn⋅(n−1)(n−2)⋯1=Nnn!(2)P(B)=NnCNn⋅n!类比:12个人，每个人在365天出生等可能(1)A={生日分别为每个月的第一天}⟹P(A)=3651212!(2)B={生日全不相同}⟹P(B)=36512C36512⋅12!B={至少两个人生日相同}⟹P(B)=1−P(B) 简单随机抽样 [ 例 ] 袋 中 有 5 个 球 ， 3 白 2 黑 ( 1 ) 先 后 有 放 回 取 2 个 球 ( 2 ) 先 后 无 放 回 取 2 个 球 ( 3 ) 任 取 2 个 球 求 取 的 2 球 中 至 少 一 个 白 球 的 概 率 算 ‘ 两 球 全 黑 ’ ， 用 总 数 减 去 它 ( 1 ) P 1 = 5 2 − 2 2 5 2 = 21 25 ( 2 ) P 2 = 5 ⋅ 4 − 2 ⋅ 1 5 ⋅ 4 = 9 10 ( 3 ) P 3 = C 5 2 − C 2 2 C 5 2 = 9 10 [ 注 ] ′ 先 后 无 放 回 取 k 个 球 ′ 与 ′ 任 取 k 个 球 ′ 概 率 相 等 ， 后 者 好 算 \begin{aligned} \ [例]&\color{maroon}袋中有5个球，3白2黑\\ &\color{maroon}(1)先后有放回取2个球\\ &\color{maroon}(2)先后无放回取2个球\\ &\color{maroon}(3)任取2个球\\ &\color{maroon}求取的2球中至少一个白球的概率\\ &\color{maroon}算‘两球全黑’，用总数减去它\\ &(1)P_1=\frac{5^2-2^2}{5^2}=\frac{21}{25}\\ &(2)P_2=\frac{5\cdot4-2\cdot1}{5\cdot4}=\frac{9}{10}\\ &(3)P_3=\frac{C_5^2-C_2^2}{C_5^2}=\frac{9}{10}\\ [注]&'先后无放回取k个球'与'任取k个球'概率相等，后者好算\\ \end{aligned} [例][注]袋中有5个球，3白2黑(1)先后有放回取2个球(2)先后无放回取2个球(3)任取2个球求取的2球中至少一个白球的概率算‘两球全黑’，用总数减去它(1)P1=5252−22=2521(2)P2=5⋅45⋅4−2⋅1=109(3)P3=C52C52−C22=109′先后无放回取k个球′与′任取k个球′概率相等，后者好算 几何概型 [ 定 义 ] 若 Ω 是 一 个 可 度 量 的 几 何 区 域 ， 且 样 本 点 落 入 Ω 中 的 某 一 可 度 量 子 区 域 A 的 可 能 性 大 小 与 A 的 几 何 度 量 成 正 比 ， 而 与 A 的 位 置 、 形 状 无 关 ， 称 为 几 何 概 型 , 即 P ( A ) = A 的 度 量 Ω 的 度 量 [ 引 例 ] 天 上 掉 馅 饼 于 操 场 上 ， 拿 一 个 饭 盆 A 去 接 这 个 馅 饼 ， P ( A ) = A 的 面 积 Ω 的 面 积 [ 例 ] 随 机 取 两 个 正 数 x , y ， 这 两 个 数 中 的 每 一 个 都 不 超 过 1 ， 求 x 与 y 之 和 不 超 过 1 ， 积 不 小 于 0.09 的 概 率 . S A = ∫ 0.1 0.9 [ 1 − x − 0.09 x ] d x = 0.8 − x 2 2 ∣ 0.1 0.9 − 0.09 ln x ∣ 0.1 0.9 = 0.8 − 0.4 − 0.18 ⋅ ln 3 ≈ 0.2 P ( A ) = S A S Ω = 20 % \begin{aligned} \ [定义]&若\Omega是一个可度量的几何区域，且样本点落入\Omega中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，\\ &而与A的位置、形状无关，称为几何概型,即P(A)=\frac{A的度量}{\Omega的度量}\\ [引例]&天上掉馅饼于操场上，拿一个饭盆A去接这个馅饼，P(A)=\frac{A的面积}{\Omega的面积}\\ [例]&\color{maroon}随机取两个正数x,y，这两个数中的每一个都不超过1，求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.\\ &S_A=\int_{0.1}^{0.9}[1-x-\frac{0.09}{x}]dx=0.8-\frac{x^2}2|_{0.1}^{0.9}-0.09\ln x | _{0.1}^{0.9}=0.8-0.4-0.18\cdot\ln3\approx0.2\\ &P(A)=\frac{S_A}{S_\Omega}=20\% \end{aligned} [定义][引例][例]若Ω是一个可度量的几何区域，且样本点落入Ω中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置、形状无关，称为几何概型,即P(A)=Ω的度量A的度量天上掉馅饼于操场上，拿一个饭盆A去接这个馅饼，P(A)=Ω的面积A的面积随机取两个正数x,y，这两个数中的每一个都不超过1，求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.SA=∫0.10.9[1−x−x0.09]dx=0.8−2x2∣0.10.9−0.09lnx∣0.10.9=0.8−0.4−0.18⋅ln3≈0.2P(A)=SΩSA=20% 重要公式 [ 公 式 ] 1. 对 立 P ( A ) = 1 − P ( A ‾ ) 2. 减 法 P ( A B ‾ ) = P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) ( A 发 生 且 B 不 发 生 ) 3. 加 法 ( 1 ) P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) ( 2 ) P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( B C ) − P ( A C ) + P ( A B C ) [ 注 ] 1. 若 A 1 , A 2 , ⋯ , A n ( n > 3 ) 两 两 互 斥 ⟹ P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) 2. 设 A 1 , A 2 , ⋯ , A n ( n > 3 ) , 若 对 其 中 任 意 有 限 个 A i 1 , A i 2 , ⋯ , A i k ( k ≥ 2 ) , 都 有 P ( A i 1 A i 2 ⋯ A i k ) = P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) ⋯ P ( A i k ) ⟹ A 1 , A 2 , ⋯ , A n 相 互 独 立 且 ′ 夫 唱 妇 随 ′ ， 即 ： n 个 事 件 相 互 独 立 ⟺ A , B 独 立 ⟺ A ‾ , B ‾ 独 立 ⟺ A ‾ , B 独 立 ⟺ A , B ‾ 独 立 n = 3 , A 1 , A 2 , A 3 , 有 { P ( A 1 A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 1 A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 3 ) P ( A 2 A 3 ) = P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( A 1 A 2 A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) 相 互 独 立 若 上 者 只 成 立 前 三 条 ， 则 称 为 两 两 独 立 于 是 若 A 1 , A 2 , ⋯ , A n 相 互 独 立 ， 则 P ( ⋃ i = 1 n A i ) = 1 − P ( ⋃ i = 1 n A i ) = 1 − P ( ⋂ i = 1 n A i ‾ ) = 1 − ∏ i = 1 n [ 1 − P ( A i ) ] 即 A 1 ‾ , A 2 ‾ , ⋯ , A n ‾ 相 互 独 立 4. 条 件 概 率 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) , P ( B ) > 0 5. 乘 法 P ( A B ) = { P ( B ) P ( A ∣ B ) , P ( B ) > 0 P ( A ) P ( B ∣ A ) , P ( A ) > 0 P ( A 1 A 2 A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) 6. 全 集 分 解 公 式 （ 全 概 率 公 式 ） [ 引 例 ] 一 个 村 子 有 且 仅 有 三 个 小 偷 A 1 , A 2 , A 3 , 求 P ( B ) = P { 失 窃 } 分 成 两 个 阶 段 { 1. 选 人 A 1 , A 2 , A 3 2. 去 偷 , B 则 P ( B ) = P ( B Ω ) = P ( B ∩ ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) ) = P ( B A 1 ∪ B A 2 ∪ B A 3 ) = P ( B A 1 ) + P ( B A 2 ) + P ( B A 3 ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) 故 P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) 7. 贝 叶 斯 公 式 （ 逆 概 率 公 式 ） 若 B 发 生 了 ， 执 果 索 因 P ( A j ∣ B ) = P ( A j B ) P ( B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A j ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) \begin{aligned} \ [公式]1.&对立\ P(A)=1-P(\overline{A})\\ 2.&减法\ P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)(A发生且B不发生)\\ 3.&加法\ (1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ &(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)\\ &[注]\color{grey}1.若A_1,A_2,\cdots,A_n(n>3)两两互斥\implies P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)\\ &\color{grey}2.设A_1,A_2,\cdots,A_n(n>3),若对其中任意有限个A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{ik}(k\geq2),\\ &\color{grey}都有P(A_{i1}A_{i2}\cdots A_{ik})=P(A_{i1})P(A_{i2})\cdots P(A_{ik})\implies A_1,A_2,\cdots,A_n相互独立\\ &\color{grey}且'夫唱妇随'，即：n个事件相互独立\iff A,B独立\iff\overline{A},\overline{B}独立\iff\overline{A},B独立\iff A,\overline{B}独立\\ &\color{grey}n=3,A_1,A_2,A_3,有\begin{cases}P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2)\\P(A_1A_3)=P(A_1)P(A_3)\\P(A_2A_3)=P(A_2)P(A_3)\\P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)\end{cases}相互独立\\ &\color{grey}若上者只成立前三条，则称为两两独立\\ &\color{grey}于是若A_1,A_2,\cdots,A_n相互独立，则P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=1-P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=1-P(\bigcap_{i=1}^n\overline{A_i})=1-\prod_{i=1}^n[1-P(A_i)]\\ &\color{grey}即\overline{A_1},\overline{A_2},\cdots,\overline{A_n}相互独立\\ 4.&条件概率\ P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0\\ 5.&乘法\ P(AB)=\begin{cases}P(B)P(A\mid B),P(B)>0\\P(A)P(B\mid A),P(A)>0\end{cases}\\ &P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)\\ 6.&全集分解公式（全概率公式）\\ &[引例]一个村子有且仅有三个小偷A_1,A_2,A_3,求P(B)=P\{失窃\}\\ &分成两个阶段\begin{cases}1.选人A_1,A_2,A_3\\2.去偷,B\end{cases}\\ &则P(B)=P(B\Omega)=P(B\cap(A_1\cup A_2\cup A_3))\\ &=P(BA_1\cup BA_2\cup BA_3)=P(BA_1)+P(BA_2)+P(BA_3)\\ &=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)\\ &故P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B\mid A_i)\\ 7.&贝叶斯公式（逆概率公式）\ 若B发生了，执果索因\\ &P(A_j\mid B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B\mid A_i)} \end{aligned} [公式]1.2.3.4.5.6.7.对立 P(A)=1−P(A)减法 P(AB)=P(A−B)=P(A)−P(AB)(A发生且B不发生)加法 (1)P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)[注]1.若A1,A2,⋯,An(n>3)两两互斥⟹P(i=1⋃nAi)=i=1∑nP(Ai)2.设A1,A2,⋯,An(n>3),若对其中任意有限个Ai1,Ai2,⋯,Aik(k≥2),都有P(Ai1Ai2⋯Aik)=P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aik)⟹A1,A2,⋯,An相互独立且′夫唱妇随′，即：n个事件相互独立⟺A,B独立⟺A,B独立⟺A,B独立⟺A,B独立n=3,A1,A2,A3,有⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(A1A3)=P(A1)P(A3)P(A2A3)=P(A2)P(A3)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)相互独立若上者只成立前三条，则称为两两独立于是若A1,A2,⋯,An相互独立，则P(i=1⋃nAi)=1−P(i=1⋃nAi)=1−P(i=1⋂nAi)=1−i=1∏n[1−P(Ai)]即A1,A2,⋯,An相互独立条件概率 P(A∣B)=P(B)P(AB),P(B)>0乘法 P(AB)={P(B)P(A∣B),P(B)>0P(A)P(B∣A),P(A)>0P(A1A2A3)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)全集分解公式（全概率公式）[引例]一个村子有且仅有三个小偷A1,A2,A3,求P(B)=P{失窃}分成两个阶段{1.选人A1,A2,A32.去偷,B则P(B)=P(BΩ)=P(B∩(A1∪A2∪A3))=P(BA1∪BA2∪BA3)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+P(A3)P(B∣A3)故P(B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)贝叶斯公式（逆概率公式） 若B发生了，执果索因P(Aj∣B)=P(B)P(AjB)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(Aj)P(B∣Aj) [ 例 1 ] 以 下 结 论 ， 错 误 的 是 （ D ） ？ ( A ) 若 0 < P ( B ) < 1 , P ( A ∣ B ) + P ( A ‾ ∣ B ‾ ) = 1 ( B ) 若 A , B 满 足 P ( B ∣ A ) = 1 , 则 P ( A − B ) = 0 ( C ) ( A − B ) ∪ B = A ∪ B ( D ) 若 A , B 同 时 发 生 时 ， C 必 发 生 ， 则 P ( C ) < P ( A ) + P ( B ) − 1 ( A ) P ( A B ) P ( B ) + P ( A ‾ B ‾ ) P ( B ‾ ) = P ( A B ) P ( B ) + 1 − P ( A + B ) 1 − P ( B ) = P ( A B ) P ( B ) + 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( A B ) 1 − P ( B ) = P ( A B ) − P ( A B ) P ( B ) + P ( B ) − P ( A ) P ( B ) − [ P ( B ) ] 2 + P ( B ) P ( A B ) P ( B ) [ 1 − P ( B ) ] = 1 ⟹ P ( A B ) + P ( B ) − P ( A ) P ( B ) − [ P ( B ) ] 2 = P ( B ) − [ P ( B ) ] 2 ⟹ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ( B ) P ( A B ) P ( A ) = 1 ⟹ P ( A B ) = P ( A ) ⟹ P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) = 0 ( C ) ( A B ‾ ) ∪ B = ( A ∩ B ‾ ) ∪ B = ( A ∪ B ) ∩ ( B ‾ ∪ B ) = A ∪ B ( D ) P ( A B ) ≤ P ( C ) ⟹ P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B ) ≤ P ( C ) ⟹ P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B ) ≥ P ( A ) + P ( B ) − 1 ⟹ P ( C ) ≥ P ( A ) + P ( B ) − 1 [ 例 2 ] 设 有 甲 、 乙 两 名 运 动 员 ， 甲 命 中 目 标 的 概 率 为 0.6 , 乙 命 中 目 标 的 概 率 为 0.5 , 求 下 列 概 率 。 ( 1 ) 从 甲 、 乙 中 任 选 一 人 取 射 击 ， 若 目 标 被 命 中 ， 则 是 甲 命 中 的 概 率 是 多 少 ？ ( 2 ) 甲 、 乙 各 自 独 立 射 击 ， 若 目 标 被 命 中 ， 则 是 甲 命 中 的 概 率 ？ ( 1 ) 分 两 个 阶 段 { 1. 选 人 ， A 甲 ， A 乙 2. 射 击 ， 命 中 = B P ( A 甲 ∣ B ) = P ( A 甲 ) P ( B ∣ A 甲 ) P ( A 甲 ) P ( B ∣ A 甲 ) + P ( A 乙 ) P ( B ∣ A 乙 ) = 1 2 ⋅ 0.6 1 2 ⋅ 0.6 + 1 2 ⋅ 0.5 = 6 11 ( 2 ) P ( A 甲 ∣ B ) = P ( A 甲 B ) P ( B ) = P ( A 甲 ) P ( A 甲 ) + P ( A 乙 ) − P ( A 甲 A 乙 ) = 0.6 0.6 + 0.5 − 0.6 ⋅ 0.5 = 3 4 [ 例 3 ] 每 箱 有 24 只 产 品 ， 每 箱 含 0 , 1 , 2 件 残 品 的 箱 各 占 80 % , 15 % , 5 % , 现 随 机 抽 一 箱 ， 随 即 检 验 其 中 4 只 , 若 未 发 现 残 品 则 通 过 验 收 ， 否 则 要 逐 一 检 验 并 更 换 ， 求 ( 1 ) 一 次 通 过 验 收 的 概 率 ( 2 ) 通 过 验 收 的 箱 中 确 无 残 品 的 概 率 ( 1 ) 记 A i = { 抽 取 的 一 箱 中 含 i 件 残 品 } . i = 0 , 1 , 2. 但 P ( A 0 ) = 0.8 , P ( A 1 ) = 0.15 , P ( A 2 ) = 0.05 分 阶 段 { 1. 取 箱 子 2. 取 4 只 检 验 ， 收 为 B o r 不 收 为 B ‾ P ( B ) = P ( A 0 ) P ( B ∣ A 0 ) + P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) = 0.8 ⋅ 1 + 0.15 ⋅ C 23 4 C 24 4 + 0.05 ⋅ C 22 4 C 24 4 ≈ 0.96 ( 2 ) P ( A 0 ∣ B ) = 0.8 0.96 ≈ 0.83 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}以下结论，错误的是（D）？\\ &\color{maroon}(A)若0< P(B)< 1,P(A\mid B)+P(\overline{A}\mid\overline{B})=1\\ &\color{maroon}(B)若A,B满足P(B\mid A)=1,则P(A-B)=0\\ &\color{maroon}(C)(A-B)\cup B=A\cup B\\ &\color{maroon}(D)若A,B同时发生时，C必发生，则P(C)< P(A)+P(B)-1\\ &(A)\ \frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A+B)}{1-P(B)}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}\\ &=\frac{P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B)]^2+P(B)P(AB)}{P(B)[1-P(B)]}=1\\ &\implies P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B)]^2=P(B)-[P(B)]^2\implies P(AB)=P(A)P(B)\\ &(B)\ \frac{P(AB)}{P(A)}=1\implies P(AB)=P(A)\\ &\implies P(A-B)=P(A)-P(AB)=0\\ &(C)\ (A\overline{B})\cup B=(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap(\overline{B}\cup B)=A\cup B\\ &(D)\ P(AB)\leq P(C)\implies P(A)+P(B)-P(A+B)\leq P(C)\\ &\implies P(A)+P(B)-P(A+B)\geq P(A)+P(B)-1\implies P(C)\geq P(A)+P(B)-1\\ [例2]&\color{maroon}设有甲、乙两名运动员，甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5,求下列概率。\\ &\color{maroon}(1)从甲、乙中任选一人取射击，若目标被命中，则是甲命中的概率是多少？\\ &\color{maroon}(2)甲、乙各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率？\\ &(1)分两个阶段\begin{cases}1.选人，A_甲，A_乙\\2.射击，命中=B\end{cases}\\ &P(A_甲\mid B)=\frac{P(A_甲)P(B\mid A_甲)}{P(A_甲)P(B\mid A_甲)+P(A_乙)P(B\mid A_乙)}\\ &=\frac{\frac12\cdot0.6}{\frac12\cdot0.6+\frac12\cdot0.5}=\frac6{11}\\ &(2)P(A_甲\mid B)=\frac{P(A_甲B)}{P(B)}=\frac{P(A_甲)}{P(A_甲)+P(A_乙)-P(A_甲A_乙)}=\frac{0.6}{0.6+0.5-0.6\cdot0.5}=\frac34\\ [例3]&\color{maroon}每箱有24只产品，每箱含0,1,2件残品的箱各占80\%, 15\%, 5\%,现随机抽一箱，随即检验其中4只,\\ &\color{maroon}若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换，求\\ &\color{maroon}(1)一次通过验收的概率\\ &\color{maroon}(2)通过验收的箱中确无残品的概率\\ &(1)记A_i=\{抽取的一箱中含i件残品\}.i=0,1,2.\\ &但P(A_0)=0.8,P(A_1)=0.15,P(A_2)=0.05\\ &分阶段\begin{cases}1.取箱子\\2.取4只检验，收为Bor不收为\overline{B}\end{cases}\\ &P(B)=P(A_0)P(B\mid A_0)+P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)\\ &=0.8\cdot1+0.15\cdot\frac{C_{23}^4}{C_{24}^4}+0.05\cdot\frac{C_{22}^4}{C_{24}^4}\approx0.96\\ &(2)P(A_0\mid B)=\frac{0.8}{0.96}\approx0.83 \end{aligned} [例1][例2][例3]以下结论，错误的是（D）？(A)若0 一维随机变量及其分布 随机变量与分布函数 ( 1 ) r , v ( 随 机 变 量 ) 定 义 在 Ω = { ω } 上 ， 取 值 在 实 数 轴 上 的 变 量 。 即 X = X ( ω ) , ω ∈ Ω ( 2 ) 分 布 函 数 F ( x ) = P { X ≤ x } , 其 中 − ∞ < x < + ∞ . \begin{aligned} &(1)r,v(随机变量)\quad 定义在\Omega=\{\omega\}上，取值在实数轴上的变量。即X=X(\omega),\omega\in\Omega\\ &(2)分布函数F(x)=P\{X\leq x\},其中-\infty< x<+\infty. \end{aligned} (1)r,v(随机变量)定义在Ω={ω}上，取值在实数轴上的变量。即X=X(ω),ω∈Ω(2)分布函数F(x)=P{X≤x},其中−∞ 离散型随机变量 [ 定 义 ] x 取 有 限 个 或 无 穷 可 列 个 值 [ 分 布 律 ] x ∼ ( x 1 x 2 ⋯ x n ⋯ P 1 P 2 ⋯ P n ⋯ ) F ( x ) = P { X ≤ x } , 离 散 型 r , v ⟺ 步 步 高 的 阶 梯 形 函 数 \begin{aligned} \ [定义]&x取有限个或无穷可列个值\\ [分布律]&x\sim\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n&\cdots\\P_1&P_2&\cdots&P_n&\cdots\end{pmatrix}\\ &F(x)=P\{X\leq x\},离散型r,v\iff 步步高的阶梯形函数\\ \end{aligned} [定义][分布律]x取有限个或无穷可列个值x∼(x1P1x2P2⋯⋯xnPn⋯⋯)F(x)=P{X≤x},离散型r,v⟺步步高的阶梯形函数 连续型随机变量 [ 定 义 ] 若 存 在 非 负 可 积 函 数 f ( x ) , 使 得 ∀ x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) , 有 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t , 则 称 x 为 连 续 型 r , v . f ( x ) 叫 概 率 密 度 [ 注 ] F ( x ) = P { X ≤ x } = { ∫ − ∞ x f ( t ) d t , 连 续 型 ∑ x i ≤ x P i , 离 散 型 \begin{aligned} \ [定义]&若存在非负可积函数f(x),使得\forall x\in(-\infty,+\infty),有F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt,则称x为连续型r,v.f(x)叫概率密度\\ [注]&F(x)=P\{X\leq x\}=\begin{cases}\int_{-\infty}^xf(t)dt,连续型\\\sum_{x_i\leq x}P_i,离散型\end{cases}\\ \end{aligned} [定义][注]若存在非负可积函数f(x),使得∀x∈(−∞,+∞),有F(x)=∫−∞xf(t)dt,则称x为连续型r,v.f(x)叫概率密度F(x)=P{X≤x}={∫−∞xf(t)dt,连续型∑xi≤xPi,离散型 X~F(x) X ∼ F ( x ) { P i → 分 布 律 f ( x ) → 概 率 密 度 ( 1 ) F ( x ) 是 某 个 X 的 分 布 函 数 ⟺ { 1. 单 调 不 减 2. F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 3. 右 连 续 ( 等 号 跟 着 大 于 号 ) ( 2 ) { P i } 是 分 布 律 ⟺ { 1. P i ≥ 0 2. ∑ i P i = 1 ( 3 ) f ( x ) 是 概 率 密 度 ⟺ { 1. f ( x ) ≥ 0 2. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \begin{aligned} &X\sim F(x)\begin{cases}P_i\to分布律\\f(x)\to概率密度\end{cases}\\ &(1)F(x)是某个X的分布函数\iff\begin{cases}1.单调不减\\2.F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\\3.右连续(等号跟着大于号)\end{cases}\\ &(2)\{P_i\}是分布律\iff\begin{cases}1.P_i\geq0\\2.\sum_iP_i=1\end{cases}\\ &(3)f(x)是概率密度\iff\begin{cases}1.f(x)\geq0\\2.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\end{cases}\\ \end{aligned} X∼F(x){Pi→分布律f(x)→概率密度(1)F(x)是某个X的分布函数⟺⎩⎪⎨⎪⎧1.单调不减2.F(−∞)=0,F(+∞)=13.右连续(等号跟着大于号)(2){Pi}是分布律⟺{1.Pi≥02.∑iPi=1(3)f(x)是概率密度⟺{1.f(x)≥02.∫−∞+∞f(x)dx=1 八个常见分布 ( 1 ) − ( 5 ) 离 散 型 ( 6 ) − ( 8 ) 连 续 型 ( 1 ) 0 − 1 分 布 X ∼ ( 1 0 P 1 − P ) ( 2 ) 二 项 分 布 { 1. 独 立 2. P ( A ) = P 3. 只 有 A , A ‾ , 非 白 即 黑 记 X 为 A 发 生 的 次 数 , P { x = k } = C n k P k ( 1 − P ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯ , n ⟹ X ∼ B ( n , P ) ( 3 ) 几 何 分 布 与 几 何 无 关 ， 首 中 即 停 止 ， 记 X 为 试 验 次 数 ⟹ P { x = k } = P 1 ( 1 − P ) k − 1 , k = 1 , 2 , ⋯ ( 4 ) 超 几 何 分 布 古 典 概 型 ， 设 N 件 产 品 ， M 、 件 正 品 ， N − M 件 次 品 ， 无 放 回 取 n 次 ， 则 P { x = k } = C M k C N − M n − k C N n ( 5 ) 泊 松 分 布 某 时 间 段 内 ， 某 场 合 下 ， 源 源 不 断 的 质 点 来 流 的 个 数 , 也 常 用 于 描 述 稀 有 事 件 的 P P { X = k } = λ k k ! e − λ , { λ − − 强 度 k = 0 , 1 , ⋯ ( 6 ) 均 匀 分 布 对 比 几 何 概 型 ， 若 X ∼ f ( x ) = { 1 b − a , a ≤ x ≤ b 0 , 其 他 , 称 X ∼ U [ a , b ] [ 注 ] 高 档 次 说 法 ： “ X 在 I 上 的 任 意 子 区 间 取 值 的 概 率 与 该 子 区 间 长 度 成 正 比 ” → X ∼ U ( I ) ( 7 ) 指 数 分 布 X ∼ f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 , 称 X ∼ E ( λ ) , λ − − 失 效 率 [ 注 ] 无 记 忆 性 P { X ≥ t + s ∣ X ≥ t } = P { x ≥ s } F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 0 , x < 0 { 几 何 分 布 ， 离 散 性 等 待 分 布 指 数 分 布 ， 连 续 性 等 待 分 布 ( 8 ) 正 态 分 布 X ∼ f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < + ∞ [ 注 ] 若 μ = 0 , σ 2 = 1 ⟹ X ∼ N ( 0 , 1 ) X ∼ φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 X ∼ Φ ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 2 d t \begin{aligned} &(1)-(5)离散型\quad(6)-(8)连续型\\ (1)&0-1分布\quad X\sim\begin{pmatrix}1&0\\P&1-P\end{pmatrix}\\ (2)&二项分布\quad \begin{cases}1.独立\\2.P(A)=P\\3.只有A,\overline{A},非白即黑\end{cases}\\ &记X为A发生的次数,P\{x=k\}=C_n^kP^k(1-P)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\\ &\implies X\sim B(n,P)\\ (3)&几何分布\quad 与几何无关，首中即停止，记X为试验次数\implies P\{x=k\}=P^1(1-P)^{k-1},k=1,2,\cdots\\ (4)&超几何分布\quad 古典概型，设N件产品，M、件正品，N-M件次品，无放回取n次，则P\{x=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ (5)&泊松分布\quad某时间段内，某场合下，源源不断的质点来流的个数,也常用于描述稀有事件的P\\ &P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\begin{cases}\lambda--强度\\k=0,1,\cdots\end{cases}\\ (6)&均匀分布\quad 对比几何概型，若X\sim f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},a\leq x\leq b\\0,其他\end{cases},称X\sim U[a,b]\\ &[注]高档次说法：“X在I上的任意子区间取值的概率与该子区间长度成正比”\to X\sim U(I)\\ (7)&指数分布\quad X\sim f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\0,x\leq0\end{cases},称X\sim E(\lambda),\lambda--失效率\\ &[注]无记忆性\ P\{X\geq t+s\mid X\geq t\}=P\{x\geq s\}\\ &F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},x\geq0\\0,x< 0\end{cases}\\ &\begin{cases}几何分布，离散性等待分布\\指数分布，连续性等待分布\end{cases}\\ (8)&正态分布\quad X\sim f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty< x< +\infty\\ &[注]若\mu=0,\sigma^2=1\implies X\sim N(0,1)\\ &X\sim\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\\ &X\sim\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}2}dt\\ \end{aligned} (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(1)−(5)离散型(6)−(8)连续型0−1分布X∼(1P01−P)二项分布⎩⎪⎨⎪⎧1.独立2.P(A)=P3.只有A,A,非白即黑记X为A发生的次数,P{x=k}=CnkPk(1−P)n−k,k=0,1,⋯,n⟹X∼B(n,P)几何分布与几何无关，首中即停止，记X为试验次数⟹P{x=k}=P1(1−P)k−1,k=1,2,⋯超几何分布古典概型，设N件产品，M、件正品，N−M件次品，无放回取n次，则P{x=k}=CNnCMkCN−Mn−k泊松分布某时间段内，某场合下，源源不断的质点来流的个数,也常用于描述稀有事件的PP{X=k}=k!λke−λ,{λ−−强度k=0,1,⋯均匀分布对比几何概型，若X∼f(x)={b−a1,a≤x≤b0,其他,称X∼U[a,b][注]高档次说法：“X在I上的任意子区间取值的概率与该子区间长度成正比”→X∼U(I)指数分布X∼f(x)={λe−λx,x>00,x≤0,称X∼E(λ),λ−−失效率[注]无记忆性 P{X≥t+s∣X≥t}=P{x≥s}F(x)=P{X≤x}=∫−∞xf(t)dt={1−e−λx,x≥00,x<0{几何分布，离散性等待分布指数分布，连续性等待分布正态分布X∼f(x)=2π σ1e−2σ2(x−μ)2,−∞ 1e−2x2X∼Φ(x)=∫−∞x2π 1e−2t2dt [ 例 1 ] 设 X ∼ F ( x ) , f ( x ) = a f 1 ( x ) + b f 2 ( x ) , f 1 ( x ) ∼ N ( 0 , σ 2 ) , f 2 ( x ) ∼ E ( λ ) F ( 0 ) = 1 8 , 则 a = ‾ , b = ‾ 1. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = a ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) d x + b ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( x ) d x ⟹ 1 = a + b 2. F ( 0 ) = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x = a ∫ − ∞ 0 f 1 ( x ) d x + b ∫ − ∞ 0 f 2 ( x ) d x = 1 8 即 a ⋅ 1 2 + b ⋅ 0 = 1 8 ⟹ a = 1 4 ⟹ b = 3 4 [ 例 2 ] X ∼ f ( x ) = { A e − x , x > λ 0 , 其 他 , λ > 0 , P { λ < X < λ + a } ( a > 0 ) 的 值 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 ⟹ ∫ λ + ∞ A e − x d x = 1 ⟹ A ⋅ e − x ∣ + ∞ λ = A e − λ = 1 ⟹ A = e λ ⟹ P { λ < X < λ + a } = ∫ λ λ + a e λ ⋅ e − x d x = e λ [ e − x ] ∣ λ + a λ = e λ ⋅ ( e − λ − e − ( λ + a ) ) = 1 − e − a 故 其 值 与 λ 无 关 ， 随 着 a 的 增 大 其 概 率 增 大 [ 例 3 ] X ∼ E ( λ ) , 对 X 作 三 次 独 立 重 复 观 察 ， 至 少 有 一 次 观 测 值 大 于 2 的 概 率 为 7 8 , 则 λ = ‾ 记 Y = { 对 X 作 三 次 独 立 重 复 观 察 中 观 测 值 大 于 2 发 生 的 次 数 } ⟹ Y ∼ B ( 3 , P ) 其 中 P = { X > 2 } = ∫ 2 + ∞ f ( x ) d x = 1 − P { X ≤ 2 } = 1 − F ( 2 ) = 1 − [ 1 − e − 2 λ ] = e − 2 λ 由 题 意 ， 得 P { Y ≥ 1 } = 7 8 = 1 − P { Y = 0 } = 1 − ( 1 − P ) 3 = 1 − ( 1 − e − 2 λ ) 3 ⟹ e − 2 λ = 1 2 ⟹ λ = − 1 2 ln 1 2 = 1 2 ln 2 [ 例 4 ] X ∼ E ( λ ) 求 Y = 1 − e − λ x ∼ f Y ( y ) X ∼ f X ( x ) , Y = g ( X ) , 求 f Y ( y ) 1. F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { g ( X ) ≤ y } = P { X ∈ I y } = ∫ I y f x ( x ) d x 2. f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) 1. F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { 1 − e − λ x ≤ y } ( 1 ) y < 0 ⟹ F Y ( y ) = 0 ( 2 ) y ≥ 1 ⟹ F Y ( y ) = 1 ( 3 ) 0 ≤ y ≤ 1 ⟹ F Y ( y ) = P { 0 ≤ X ≤ − 1 λ ln ( 1 − y ) } = F X ( − 1 λ ln ( 1 − y ) ) = 1 − e − λ [ − 1 λ ln ( 1 − y ) ] 2. f Y ( y ) = { 1 , 0 ≤ y < 1 0 , 其 他 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}设X\sim F(x),f(x)=af_1(x)+bf_2(x),f_1(x)\sim N(0,\sigma^2),f_2(x)\sim E(\lambda)\\ &\color{maroon}F(0)=\frac18,则a=\underline{\quad},b=\underline{\quad}\\ &1.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)dx+b\int_{-\infty}^{+\infty}f_2(x)dx\implies 1=a+b\\ &2.F(0)=\int_{-\infty}^0f(x)dx=a\int_{-\infty}^{0}f_1(x)dx+b\int_{-\infty}^{0}f_2(x)dx=\frac18\\ &即a\cdot\frac12+b\cdot0=\frac18\implies a=\frac14\implies b=\frac34\\ [例2]&\color{maroon}X\sim f(x)=\begin{cases}Ae^{-x},x>\lambda\\0,其他\end{cases},\lambda>0,P\{\lambda< X< \lambda+a\}(a>0)的值\\ &\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\implies \int_{\lambda}^{+\infty}Ae^{-x}dx=1\implies A\cdot e^{-x}\mid^\lambda_{+\infty}=Ae^{-\lambda}=1\implies A=e^{\lambda}\\ &\implies P\{\lambda< X< \lambda+a\}=\int_{\lambda}^{\lambda+a}e^{\lambda}\cdot e^{-x}dx=e^{\lambda}[e^{-x}]\mid^{\lambda}_{\lambda+a}=e^{\lambda}\cdot(e^{-\lambda}-e^{-(\lambda+a)})=1-e^{-a}\\ &故其值与\lambda无关，随着a的增大其概率增大\\ [例3]&\color{maroon}X\sim E(\lambda),对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为\frac78,则\lambda=\underline{\quad}\\ &记Y=\{对X作三次独立重复观察中观测值大于2发生的次数\}\implies Y\sim B(3,P)\\ &其中P=\{X>2\}=\int_2^{+\infty}f(x)dx=1-P\{X\leq2\}=1-F(2)=1-[1-e^{-2\lambda}]=e^{-2\lambda}\\ &由题意，得P\{Y\geq1\}=\frac78=1-P\{Y=0\}=1-(1-P)^3=1-(1-e^{-2\lambda})^3\\ &\implies e^{-2\lambda}=\frac12\implies \lambda=-\frac12\ln\frac12=\frac12\ln2\\ [例4]&\color{maroon}X\sim E(\lambda)求Y=1-e^{-\lambda x}\sim f_Y(y)\\ &X\sim f_X(x),Y=g(X),求f_Y(y)\\ &1.F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{g(X)\leq y\}=P\{X\in I_y\}=\int_{I_y}f_x(x)dx\\ &2.f_Y(y)=F_Y'(y)\\ &1.F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{1-e^{-\lambda x}\leq y\}\\ &(1)y< 0\implies F_Y(y)=0\\ &(2)y\geq1\implies F_Y(y)=1\\ &(3)0\leq y\leq1\implies F_Y(y)=P\{0\leq X\leq -\frac1{\lambda}\ln(1-y)\}=F_X(-\frac1{\lambda}\ln(1-y))=1-e^{-\lambda[-\frac1{\lambda}\ln(1-y)]}\\ &2.f_Y(y)=\begin{cases}1,0\leq y< 1\\0,其他\end{cases}\\ \end{aligned} [例1][例2][例3][例4]设X∼F(x),f(x)=af1(x)+bf2(x),f1(x)∼N(0,σ2),f2(x)∼E(λ)F(0)=81,则a=,b=1.∫−∞+∞f(x)dx=a∫−∞+∞f1(x)dx+b∫−∞+∞f2(x)dx⟹1=a+b2.F(0)=∫−∞0f(x)dx=a∫−∞0f1(x)dx+b∫−∞0f2(x)dx=81即a⋅21+b⋅0=81⟹a=41⟹b=43X∼f(x)={Ae−x,x>λ0,其他,λ>0,P{λ 多元随机变量及其分布 概念 1. 联 合 分 布 设 ( X , Y ) , F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } , − ∞ < x < + ∞ , − ∞ < y < + ∞ 2. 边 缘 分 布 F X ( x ) = lim y → + ∞ F ( x , y ) , F Y ( y ) = lim x → + ∞ F ( x , y ) [ 注 ] 1. 离 散 型 ( X , Y ) ∼ P i j ( 联 合 分 布 律 ) 条 件 分 布 为 P ( X = x i ∣ Y = y i ) = P ( X = x i , Y = y j ) P ( Y = y j ) = P i j P ⋅ j P ( X = 1 ∣ Y = 0 ) = P 21 P ⋅ 1 条 件 = 联 合 边 缘 2. 连 续 型 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) ( 联 合 概 率 密 度 ) 边 缘 密 度 为 f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y , f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x 条 件 密 度 为 f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) 无 论 离 散 还 是 连 续 ， 条 件 = 联 合 边 缘 3. 独 立 性 设 ( X , Y ) , X , Y 独 立 ⟺ F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) ⟺ P i j = P i ⋅ ⋅ P ⋅ j , ∀ i , j ⟺ f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) 4. 两 个 分 布 ( 1 ) 均 匀 分 布 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { 1 S D , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D ( 2 ) 正 态 分 布 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) 其 中 E X = μ 1 , E Y = μ 2 , D X = σ 1 2 , D Y = σ 2 2 , ϱ x y = ρ \begin{aligned} 1.&联合分布\quad 设(X,Y),F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\},-\infty< x<+\infty,-\infty< y<+\infty\\ 2.&边缘分布\quad F_X(x)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y),F_Y(y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)\\ [注]&1.离散型(X,Y)\sim P_{ij}(联合分布律)\\ &条件分布为P(X=x_i\mid Y=y_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}\\ &P(X=1\mid Y=0)=\frac{P_{21}}{P_{\cdot 1}}\\ &条件=\frac{联合}{边缘}\\ &2.连续型(X,Y)\sim f(x,y)(联合概率密度)\\ &边缘密度为f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy,f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\\ &条件密度为f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\ &无论离散还是连续，条件=\frac{联合}{边缘}\\ 3.&独立性\quad 设(X,Y),X,Y独立\iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\\ &\iff P_{ij}=P_{i\cdot}\cdot P_{\cdot j},\forall i,j\\ &\iff f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\\ 4.&两个分布\\ &(1)均匀分布\quad (X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}\frac1{S_D},(x,y)\in D\\0,(x,y)\notin D\end{cases}\\ &(2)正态分布\quad (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\\ &其中EX=\mu_1,EY=\mu_2,DX=\sigma_1^2,DY=\sigma_2^2,\varrho_{xy}=\rho\\ \end{aligned} 1.2.[注]3.4.联合分布设(X,Y),F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},−∞ 用分布求概率 [ 例 1 ] ( X , Y ) ∼ X Y 0 1 0 a 0.4 1 0.1 b 若 { x = 0 } 与 { X + Y = 1 } 独 立 ， 令 U = m a x { X , Y } , V = m i n { X , Y } , 则 P = { U + V = 1 } = ‾ U = m a x { X , Y } = ( X + Y ) + ∣ X − Y ∣ 2 V = m i n { X , Y } = ( X + Y ) − ∣ X − Y ∣ 2 U + V = X + Y ⟹ P ( U + V = 1 ) = P { X + Y = 1 } = 0.5 [ 例 2 ] 设 ( X , Y ) 在 D = { ( x , y ) ∣ 1 ≤ x ≤ e 2 , 0 ≤ y ≤ 1 x } 上 服 从 均 匀 分 布 则 ( X , Y ) 关 于 x ∼ f X ( x ) 在 x = e 处 得 值 为 ‾ S D = ∫ 1 e 2 1 x d x = ln x ∣ 1 e 2 = 2 − 0 = 2 ⟹ ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { 1 2 , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D 求 谁 不 积 谁 ， 不 积 先 定 限 ， 限 内 画 条 线 ， 先 交 写 下 限 ， 后 交 写 上 限 f X ( x ) = { ∫ 0 1 x 1 2 d y , 1 ≤ x ≤ e 2 0 , 其 他 = { 1 2 x , 1 ≤ x ≤ e 2 0 , 其 他 ⟹ f X ( e ) = 1 2 e [ 例 3 ] ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { x , 0 < x < 1 , 0 < y < x 0 , 其 他 ， 求 Z = X − Y 的 f Z ( z ) ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) , Z = g ( x , y ) ⟹ f Z ( z ) 1. F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d σ 2. f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) 1. F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X − Y ≤ z } ( 1 ) z < 0 ⟹ F Z ( z ) = 0 ( 2 ) z ≥ 1 ⟹ F Z ( z ) = 1 ( 3 ) 0 ≤ z < 1 ⟹ F Z ( z ) = ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ 0 z d x ∫ 0 x 3 x d y + ∫ z 1 d x ∫ x − z x 3 x d y = 3 2 z − 1 2 z 3 ⟹ f Z ( z ) = { 3 2 − 3 2 z 2 , 0 ≤ z < 1 0 , 其 他 [ 例 4 ] X , Y 相 互 独 立 ， P { X = 0 } = P { X = 1 } = 1 2 , P { Y ≤ x } = x , 0 < y ≤ 1 , 求 Z = X Y 的 分 布 函 数 X ∼ P i , Y ∼ f Y ( y ) = { 1 , 0 < y < 1 0 , 其 他 ( 1 ) 选 X ; ( 2 ) 作 X Y F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X Y ≤ z } = P ( X = 0 ) P ( X Y ≤ z ∣ X = 0 ) + P ( X = 1 ) P ( X Y ≤ z ∣ X = 1 ) 1 2 [ P ( 0 ≤ z ) + P ( Y ≤ z ) ] = 1 2 F Z ( z ) = { z < 0 ⟹ F Z ( z ) = 0 z ≥ 1 ⟹ F Z ( z ) = 1 0 ≤ z < 1 ⟹ F Z ( z ) = 1 2 ( 1 + z ) \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}(X,Y)\sim \begin{array}{c|cc} X\ Y & 0 & 1 \\ \hline 0 & a & 0.4 \\ 1 & 0.1 & b \\ \end{array}\\ &\color{maroon}若\{x=0\}与\{X+Y=1\}独立，令U=max\{X,Y\},V=min\{X,Y\},则P=\{U+V=1\}=\underline{\quad}\\ &U=max\{X,Y\}=\frac{(X+Y)+\mid X-Y\mid}{2}\\ &V=min\{X,Y\}=\frac{(X+Y)-\mid X-Y\mid}2\\ &U+V=X+Y\implies P(U+V=1)=P\{X+Y=1\}=0.5\\ [例2]&\color{maroon}设(X,Y)在D=\{(x,y)\mid 1\leq x\leq e^2,0\leq y\leq \frac1x\}上服从均匀分布\\ &\color{maroon}则(X,Y)关于x\sim f_X(x)在x=e处得值为\underline{\quad}\\ &S_D=\int_1^{e^2}\frac1xdx=\ln x\mid^{e^2}_1=2-0=2\\ &\implies (X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}\frac12,(x,y)\in D\\0,(x,y)\notin D\end{cases}\\ &求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限\\ &f_X(x)=\begin{cases}\int_0^{\frac1x}\frac12dy,1\leq x\leq e^2\\0,其他\end{cases}=\begin{cases}\frac{1}{2x},1\leq x\leq e^2\\0,其他\end{cases}\\ &\implies f_X(e)=\frac1{2e}\\ [例3]&\color{maroon}(X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}x,0< x< 1,0< y< x\\0,其他\end{cases}，求Z=X-Y的f_{Z}(z)\\ &(X,Y)\sim f(x,y),Z=g(x,y)\implies f_Z(z)\\ &1.F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint_{g(x,y)\leq z}f(x,y)d\sigma\\ &2.f_Z(z)=F_Z'(z)\\ &1.F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{X-Y\leq z\}\\ &(1)z<0 \implies F_Z(z)=0\\ &(2)z\geq1\implies F_Z(z)=1\\ &(3)0\leq z<1\implies F_Z(z)=\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_0^zdx\int_0^x3xdy+\int_z^1dx\int_{x-z}^x3xdy=\frac32z-\frac12z^3\\ &\implies f_Z(z)=\begin{cases}\frac32-\frac32z^2,0\leq z<1\\0,其他\end{cases}\\ [例4]&\color{maroon}X,Y相互独立，P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac12,P\{Y\leq x\}=x,0< y\leq1,求Z=XY的分布函数\\ &X\sim P_i,Y\sim f_Y(y)=\begin{cases}1,0< y <1\\0,其他\end{cases}\\ &(1)选X;(2)作XY\\ &F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{XY\leq z\}=P(X=0)P(XY\leq z\mid X=0)+P(X=1)P(XY\leq z\mid X=1)\\ &\frac12[P(0\leq z)+P(Y\leq z)]=\frac12\\ &F_Z(z)=\begin{cases}z<0 \implies F_Z(z)=0\\z\geq1\implies F_Z(z)=1\\0\leq z<1\implies F_Z(z)=\frac12(1+z)\end{cases}\\ \end{aligned} [例1][例2][例3][例4](X,Y)∼X Y010a0.110.4b若{x=0}与{X+Y=1}独立，令U=max{X,Y},V=min{X,Y},则P={U+V=1}=U=max{X,Y}=2(X+Y)+∣X−Y∣V=min{X,Y}=2(X+Y)−∣X−Y∣U+V=X+Y⟹P(U+V=1)=P{X+Y=1}=0.5设(X,Y)在D={(x,y)∣1≤x≤e2,0≤y≤x1}上服从均匀分布则(X,Y)关于x∼fX(x)在x=e处得值为SD=∫1e2x1dx=lnx∣1e2=2−0=2⟹(X,Y)∼f(x,y)={21,(x,y)∈D0,(x,y)∈/D求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限fX(x)={∫0x121dy,1≤x≤e20,其他={2x1,1≤x≤e20,其他⟹fX(e)=2e1(X,Y)∼f(x,y)={x,0 数字特征 概念 数学期望与方差 1. 期 望 定 义 ( 1 ) E X { X ∼ P i ⟹ E X = ∑ i x i P i X ∼ f ( x ) ⟹ E X = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x ( 2 ) X ∼ p i , Y = g ( X ) ⟹ E Y = ∑ i g ( x i ) p i ( 3 ) X ∼ f ( x ) , Y = g ( X ) ⟹ E Y = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x ( 4 ) ( X , Y ) ∼ p i j , Z = g ( X , Y ) ⟹ E Z = ∑ i ∑ j g ( x i , y i ) p i j ( 5 ) ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) , Z = g ( X , Y ) ⟹ E Z = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y 2. 方 差 定 义 D X = E [ ( X − E X ) 2 ] ( 1 ) 定 义 法 ： { X ∼ p i ⟹ D X = E [ ( X − E X ) 2 ] = ∑ i ( x i − E X ) 2 p i X ∼ f ( x ) ⟹ D X = E [ ( X − E X ) 2 ] = ∫ − ∞ + ∞ ( x − E X ) 2 f ( x ) d x ( 2 ) 公 式 法 : D X = E [ ( X − E X ) 2 ] = E [ X 2 − 2 ⋅ X ⋅ E X + ( E X ) 2 ] = E ( X 2 ) − 2 ⋅ E X ⋅ E X + ( E X ) 2 ] D X = E ( X 2 ) − ( E X ) 2 3. 性 质 ( 1 ) E a = a , E ( E X ) = E X ( 2 ) E ( a X + b Y ) = a E X + b E Y , E ( ∑ i = 1 n a i X i ) = ∑ i = 1 n a i E X i ( 无 条 件 ) ( 3 ) 若 X , Y 相 互 独 立 ， 则 E ( X Y ) = E X E Y ( 4 ) D a = 0 , D ( E X ) = 0 , D ( D X ) = 0 ( 5 ) 若 X , Y 相 互 独 立 ， 则 D ( X ± Y ) = D X + D Y ( 6 ) D ( a X + b ) = a 2 D X , E ( a X + b ) = a E X + b ( 7 ) 一 般 , D ( X ± Y ) = D X + D Y ± 2 C o v ( X , Y ) D ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n D X i + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n C o v ( x i , x j ) [ 注 ] 1.0 − 1 分 布 ， E X = p , D X = p − p 2 = ( 1 − p ) p , X ∼ ( 1 0 p 1 − p ) 2. X ∼ B ( n , p ) , E X = n p , D X = n p ( 1 − p ) 3. X ∼ P ( λ ) , E X = λ , D X = λ 4. X ∼ G e ( p ) , E X = 1 p , D X = 1 − p p 2 5. X ∼ U [ a , b ] , E X = a + b 2 , D X = ( b − a ) 2 12 6. X ∼ E X ( λ ) , E X = 1 λ , D X = 1 λ 2 7. X ∼ N ( μ , σ 2 ) , E X = μ , D X = σ 2 8. X ∼ χ 2 ( n ) , E X = n , D X = 2 n \begin{aligned} 1.&期望定义\\ (1)&EX\begin{cases}X\sim P_i\implies EX=\sum_ix_iP_i\\X\sim f(x)\implies EX=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\end{cases}\\ (2)&X\sim p_i,Y=g(X)\implies EY=\sum_ig(x_i)p_i\\ (3)&X\sim f(x),Y=g(X)\implies EY=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\\ (4)&(X,Y)\sim p_{ij},Z=g(X,Y)\implies EZ=\sum_i\sum_jg(x_i,y_i)p_{ij}\\ (5)&(X,Y)\sim f(x,y),Z=g(X,Y)\implies EZ=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\\ 2.&方差定义\\ &DX=E[(X-EX)^2]\\ (1)&定义法：\begin{cases}X\sim p_i\implies DX=E[(X-EX)^2]=\sum_i(x_i-EX)^2p_i\\X\sim f(x)\implies DX=E[(X-EX)^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx\end{cases}\\ (2)&公式法:DX=E[(X-EX)^2]=E[X^2-2\cdot X\cdot EX+(EX)^2]=E(X^2)-2\cdot EX\cdot EX+(EX)^2]\\ &DX=E(X^2)-(EX)^2\\ 3.&性质\\ (1)&Ea=a,E(EX)=EX\\ (2)&E(aX+bY)=aEX+bEY,E(\sum_{i=1}^na_iX_i)=\sum_{i=1}^na_iEX_i(无条件)\\ (3)&若X,Y相互独立，则E(XY)=EXEY\\ (4)&Da=0,D(EX)=0,D(DX)=0\\ (5)&若X,Y相互独立，则D(X\pm Y)=DX+DY\\ (6)&D(aX+b)=a^2DX,E(aX+b)=aEX+b\\ (7)&一般,D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2Cov(X,Y)\\ &D(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^nDX_i+2\sum_{1\leq i< j\leq n}Cov(x_i,x_j)\\ [注]&1.0-1分布，EX=p,DX=p-p^2=(1-p)p,X\sim\begin{pmatrix}1&0\\p&1-p\end{pmatrix}\\ &2.X\sim B(n,p),EX=np,DX=np(1-p)\\ &3.X\sim P(\lambda),EX=\lambda,DX=\lambda\\ &4.X\sim Ge(p),EX=\frac1p,DX=\frac{1-p}{p^2}\\ &5.X\sim U[a,b],EX=\frac{a+b}2,DX=\frac{(b-a)^2}{12}\\ &6.X\sim E_X(\lambda),EX=\frac1{\lambda},DX=\frac1{\lambda^2}\\ &7.X\sim N(\mu,\sigma^2),EX=\mu,DX=\sigma^2\\ &8.X\sim \chi^2(n),EX=n,DX=2n\\ \end{aligned} 1.(1)(2)(3)(4)(5)2.(1)(2)3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)[注]期望定义EX{X∼Pi⟹EX=∑ixiPiX∼f(x)⟹EX=∫−∞+∞f(x)dxX∼pi,Y=g(X)⟹EY=i∑g(xi)piX∼f(x),Y=g(X)⟹EY=∫−∞+∞g(x)f(x)dx(X,Y)∼pij,Z=g(X,Y)⟹EZ=i∑j∑g(xi,yi)pij(X,Y)∼f(x,y),Z=g(X,Y)⟹EZ=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy方差定义DX=E[(X−EX)2]定义法：{X∼pi⟹DX=E[(X−EX)2]=∑i(xi−EX)2piX∼f(x)⟹DX=E[(X−EX)2]=∫−∞+∞(x−EX)2f(x)dx公式法:DX=E[(X−EX)2]=E[X2−2⋅X⋅EX+(EX)2]=E(X2)−2⋅EX⋅EX+(EX)2]DX=E(X2)−(EX)2性质Ea=a,E(EX)=EXE(aX+bY)=aEX+bEY,E(i=1∑naiXi)=i=1∑naiEXi(无条件)若X,Y相互独立，则E(XY)=EXEYDa=0,D(EX)=0,D(DX)=0若X,Y相互独立，则D(X±Y)=DX+DYD(aX+b)=a2DX,E(aX+b)=aEX+b一般,D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)D(i=1∑nXi)=i=1∑nDXi+21≤i 协方差与相关系数 C o v ( X , Y ) = E [ X − E X ) ( Y − E Y ) ] , C o v ( X , X ) = E [ ( X − E X ) ( X − E X ) ] = E [ ( X − E X ) 2 ] = D X 1. 定 义 法 { ( X , Y ) ∼ p i j ⟹ C o v ( X , Y ) = ∑ i ∑ j ( x i − E X ) ( u i − E Y ) p i j ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) ⟹ C o v ( X , Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( x − E X ) ( y − E Y ) f ( x , y ) d x d y 2. 公 式 法 C o v ( X , Y ) = E ( X Y − X ⋅ E Y − E X ⋅ Y + E X ⋅ E Y ) = E ( X Y ) − E X ⋅ E Y − E X ⋅ E Y + E X ⋅ E Y = E ( X Y ) − E X E Y 3. ρ X Y = C o v ( X , Y ) D X D Y { = 0 ⟺ X , Y 不 相 关 ̸ = 0 ⟺ X , Y 相 关 性 质 1. C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) 2. C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( X , Y ) 3. C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) 4. ∣ ρ X Y ∣ ≤ 1 5. ρ X Y = 1 ⟺ P { Y = a X + b } = 1 ( a > 0 ) , ρ X Y = − 1 ⟺ P { Y = a X + b } = 1 ( a < 0 ) 考 试 时 ： Y = a X + b , a > 0 ⟹ ρ X Y = 1 , Y = a X + b , a < 0 ⟹ ρ X Y = − 1 小 结 五 个 充 要 条 件 ρ X Y = 0 ⟺ { C o v ( X , Y ) = 0 E ( X Y ) = E X ⋅ E Y D ( X + Y ) = D X + D Y D ( X − Y ) = D X + D Y X , Y 独 立 ⟹ ρ X Y = 0 若 ( X , Y ) ∼ N ( μ , σ 2 ) , 则 X , Y 独 立 ⟺ X , Y 不 相 关 ( ρ X Y = 0 ) \begin{aligned} &Cov(X,Y)=E[X-EX)(Y-EY)],Cov(X,X)=E[(X-EX)(X-EX)]=E[(X-EX)^2]=DX\\ &1.定义法\\ &\begin{cases}(X,Y)\sim p_{ij}\implies Cov(X,Y)=\sum_i\sum_j(x_i-EX)(u_i-EY)p_{ij}\\(X,Y)\sim f(x,y)\implies Cov(X,Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy\end{cases}\\ &2.公式法\\ &Cov(X,Y)=E(XY-X\cdot EY-EX\cdot Y+EX\cdot EY)\\ &=E(XY)-EX\cdot EY-EX\cdot EY+EX\cdot EY=E(XY)-EXEY\\ &3.\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\begin{cases}=0\iff X,Y不相关\\\not=0\iff X,Y相关\end{cases}\\ 性质&1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\\ &2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\\ &3.Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\\ &4.\mid \rho_{XY}\mid\leq1\\ &5.\rho_{XY}=1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a>0),\rho_{XY}=-1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a<0)\\ &考试时：Y=aX+b,a>0\implies \rho_{XY}=1,Y=aX+b,a<0\implies \rho_{XY}=-1\\ 小结&五个充要条件\\ &\rho_{XY}=0\iff\begin{cases}Cov(X,Y)=0\\E(XY)=EX\cdot EY\\D(X+Y)=DX+DY\\D(X-Y)=DX+DY\end{cases}\\ &X,Y独立\implies \rho_{XY}=0\\ &若(X,Y)\sim N(\mu,\sigma^2),则X,Y独立\iff X,Y不相关(\rho_{XY}=0)\\ \end{aligned} 性质小结Cov(X,Y)=E[X−EX)(Y−EY)],Cov(X,X)=E[(X−EX)(X−EX)]=E[(X−EX)2]=DX1.定义法{(X,Y)∼pij⟹Cov(X,Y)=∑i∑j(xi−EX)(ui−EY)pij(X,Y)∼f(x,y)⟹Cov(X,Y)=∫−∞+∞∫−∞+∞(x−EX)(y−EY)f(x,y)dxdy2.公式法Cov(X,Y)=E(XY−X⋅EY−EX⋅Y+EX⋅EY)=E(XY)−EX⋅EY−EX⋅EY+EX⋅EY=E(XY)−EXEY3.ρXY=DX DY Cov(X,Y){=0⟺X,Y不相关̸=0⟺X,Y相关1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)3.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)4.∣ρXY∣≤15.ρXY=1⟺P{Y=aX+b}=1(a>0),ρXY=−1⟺P{Y=aX+b}=1(a<0)考试时：Y=aX+b,a>0⟹ρXY=1,Y=aX+b,a<0⟹ρXY=−1五个充要条件ρXY=0⟺⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Cov(X,Y)=0E(XY)=EX⋅EYD(X+Y)=DX+DYD(X−Y)=DX+DYX,Y独立⟹ρXY=0若(X,Y)∼N(μ,σ2),则X,Y独立⟺X,Y不相关(ρXY=0) 例题 [ 例 1 ] 设 x 1 , x 2 , x 3 相 互 独 立 ∼ P ( λ ) , 令 Y = 1 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) , 则 E Y 2 = ‾ E ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 3 λ D ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 3 λ E Y = E ( 1 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) = 1 3 3 λ = λ D Y = D ( 1 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) = 1 9 3 λ = λ E Y 2 = ( E Y ) 2 + D Y = λ 2 + λ 3 [ 例 2 ] X ∼ f ( x ) = { 3 8 x 2 , 0 < x < 2 0 , 其 他 , 则 E ( 1 x 2 ) = ‾ E ( 1 x 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 x 2 f ( x ) d x = ∫ 0 2 1 x 2 3 8 x 2 d x = 3 4 [ 例 3 ] X ∼ B ( 1 , 1 2 ) , Y ∼ B ( 1 , 1 2 ) , D ( X + Y ) = 1 , 则 ρ X Y = ‾ ρ X Y = C o v ( X , Y ) D X D Y 1 = D ( X + Y ) + D X + D Y + 2 C o v ( X , Y ) ⟹ C o v ( X , Y ) = 1 4 ρ X Y = 1 4 1 2 ⋅ 1 2 = 1 [ 例 4 ] ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { 1 , 0 ≤ ∣ y ∣ ≤ x ≤ 1 0 , 其 他 , 则 C o v ( X , Y ) = ‾ C o v ( X , Y ) = E X Y − E X E Y 其 中 E X Y = ∬ D x ⋅ y f ( x , y ) d x d y = 0 E Y = E ⋅ 1 ⋅ Y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x 0 y 1 f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ y f ( x , y ) d σ = ∬ D y ⋅ 1 d σ = 0 C o v ( X , Y ) = E X Y − E X E Y = 0 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}设x_1,x_2,x_3相互独立\sim P(\lambda),令Y=\frac13(x_1+x_2+x_3),则EY^2=\underline{\quad}\\ &E(x_1,x_2,x_3)=3\lambda\quad D(x_1,x_2,x_3)=3\lambda\\ &EY=E(\frac13(x_1,x_2,x_3))=\frac133\lambda=\lambda\\ &DY=D(\frac13(x_1,x_2,x_3))=\frac193\lambda=\lambda\\ &EY^2=(EY)^2+DY=\lambda^2+\frac{\lambda}3\\ [例2]&\color{maroon}X\sim f(x)=\begin{cases}\frac38x^2,0< x< 2\\0,其他\end{cases},则E(\frac1{x^2})=\underline{\quad}\\ &E(\frac1{x^2})=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{x^2}f(x)dx=\int_0^2\frac1{x^2}\frac38x^2dx=\frac34\\ [例3]&\color{maroon}X\sim B(1,\frac12),Y\sim B(1,\frac12),D(X+Y)=1,则\rho_{XY}=\underline{\quad}\\ &\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\\ &1=D(X+Y)+DX+DY+2Cov(X,Y)\implies Cov(X,Y)=\frac14\\ &\rho_{XY}=\frac{\frac14}{\frac12\cdot\frac12}=1\\ [例4]&\color{maroon}(X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}1,0\leq \mid y\mid\leq x\leq1\\0,其他\end{cases},则Cov(X,Y)=\underline{\quad}\\ &Cov(X,Y)=EXY-EXEY\\ &其中EXY=\iint_Dx\cdot yf(x,y)dxdy=0\\ &EY=E\cdot1\cdot Y=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^0y^1f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)d\sigma=\iint_Dy\cdot1d\sigma=0\\ &Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0 \end{aligned} [例1][例2][例3][例4]设x1,x2,x3相互独立∼P(λ),令Y=31(x1+x2+x3),则EY2=E(x1,x2,x3)=3λD(x1,x2,x3)=3λEY=E(31(x1,x2,x3))=313λ=λDY=D(31(x1,x2,x3))=913λ=λEY2=(EY)2+DY=λ2+3λX∼f(x)={83x2,0 DY Cov(X,Y)1=D(X+Y)+DX+DY+2Cov(X,Y)⟹Cov(X,Y)=41ρXY=21⋅2141=1(X,Y)∼f(x,y)={1,0≤∣y∣≤x≤10,其他,则Cov(X,Y)=Cov(X,Y)=EXY−EXEY其中EXY=∬Dx⋅yf(x,y)dxdy=0EY=E⋅1⋅Y=∫−∞+∞∫−∞+∞x0y1f(x,y)dxdy=∫−∞+∞∫−∞+∞yf(x,y)dσ=∬Dy⋅1dσ=0Cov(X,Y)=EXY−EXEY=0 大数定律与中心极限定理 依概率收敛 设 { X n } 为 一 r , v 序 列 ， X 为 一 r , v ( 或 a 为 常 数 ) 若 ∀ ε > 0 , 恒 有 lim n → ∞ P { ∣ X n − X ∣ < ε } = 1 或 lim n → ∞ P { ∣ X n − a ∣ < ε } = 1 , 则 称 { X n } 依 概 率 收 敛 于 X 或 a 记 ： X n → X 或 X a → a [ 例 1 ] 设 { X n } , X n ∼ f n ( x ) = n π ( 1 + n 2 x 2 ) , x ∈ R , 证 X n → 0 P { − ε < X n < ε } = ∫ − ε ε n π ( 1 + n 2 x 2 ) d x = 1 π arctan x ∣ − ε ε = 2 π arctan n ε lim n → ∞ 2 π arctan n ε = 1 \begin{aligned} &设\{X_n\}为一r,v序列，X为一r,v(或a为常数)\\ &若\forall \varepsilon>0,恒有\lim_{n\to\infty}P\{\mid X_n-X\mid<\varepsilon\}=1或\lim_{n\to\infty}P\{\mid X_n-a\mid<\varepsilon\}=1,则称\{X_n\}依概率收敛于X或a\\ &记：X_n\to X 或 X_a\to a\\ [例1]&\color{maroon}设\{X_n\},X_n\sim f_n(x)=\frac{n}{\pi(1+n^2x^2)},x\in R,证X_n\to0\\ &P\{-\varepsilon<X_n<\varepsilon\}=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{n}{\pi(1+n^2x^2)}dx=\frac1{\pi}\arctan x\mid^{\varepsilon}_{-\varepsilon}=\frac{2}{\pi}\arctan n\varepsilon\\ &\lim_{n\to\infty}\frac2{\pi}\arctan n\varepsilon=1\\ \end{aligned} [例1]设{Xn}为一r,v序列，X为一r,v(或a为常数)若∀ε>0,恒有n→∞limP{∣Xn−X∣<ε}=1或n→∞limP{∣Xn−a∣<ε}=1,则称{Xn}依概率收敛于X或a记：Xn→X或Xa→a设{Xn},Xn∼fn(x)=π(1+n2x2)n,x∈R,证Xn→0P{−ε 三个定律与两个定理 大数定律 1. 切 比 雪 夫 大 数 定 律 设 { X n } ( n = 1 , 2 , ⋯ ) 0 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ， 若 方 差 D X k 存 在 且 一 致 有 上 界 ， 则 1 n ∑ i = 1 n X i → 1 n ∑ i = 1 n E X i = E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) 一 致 有 上 界 皆 有 共 同 的 上 界 ， 与 k 无 关 2. 伯 努 利 大 数 定 律 设 u n 是 n 重 伯 努 利 试 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数 ， 在 每 次 试 验 中 A 发 生 的 概 率 为 p ( 0 < p < 1 ) , 则 u n n → p 3. 辛 钦 大 数 定 律 设 { X n } 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 若 E X n = μ 存 在 ， 则 1 n ∑ i = 1 n X i → μ [ 注 ] 在 满 足 一 定 条 件 的 基 础 上 ， 所 有 大 数 定 律 都 在 讲 一 个 结 论 1 n ∑ i = 1 n X i → E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) \begin{aligned} 1.&切比雪夫大数定律\\ &设\{X_n\}(n=1,2,\cdots)0是相互独立的随机变量序列，若方差DX_k存在且一致有上界，则\\ &\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to\frac1n\sum_{i=1}^nEX_i=E(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\ &一致有上界皆有共同的上界，与k无关\\ 2.&伯努利大数定律\\ &设u_n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p(0<p < 1),则\frac{u_n}n\to p\\ 3.&辛钦大数定律\\ &设\{X_n\}是独立同分布的随机变量序列，若EX_n=\mu存在，则\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to\mu\\ [注]&在满足一定条件的基础上，所有大数定律都在讲一个结论 \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to E(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\ \end{aligned} 1.2.3.[注]切比雪夫大数定律设{Xn}(n=1,2,⋯)0是相互独立的随机变量序列，若方差DXk存在且一致有上界，则n1i=1∑nXi→n1i=1∑nEXi=E(n1i=1∑nXi)一致有上界皆有共同的上界，与k无关伯努利大数定律设un是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p(0 中心极限定理 不 论 X i ∼ i i d F ( μ , σ 2 ) , μ = E X i , σ 2 = D X i ⟹ ∑ i = 1 n X i ∼ n → ∞ N ( n μ , n σ 2 ) ⟹ ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ∼ n → ∞ N ( 0 , 1 ) , 即 lim n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ≤ x } = Φ ( x ) [ 例 1 ] 假 设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n ∼ i i d P ( λ ) , 则 lim n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n λ n λ ≤ x } = ‾ { E ( ∑ i = 1 n X i ) = n λ D ( ∑ i = 1 n X i ) = n λ lim n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n λ n λ ≤ x } = Φ ( x ) \begin{aligned} &不论X_i\sim^{iid}F(\mu,\sigma^2),\mu=EX_i,\sigma^2=DX_i\implies \sum_{i=1}^n X_i\sim^{n\to\infty}N(n\mu,n\sigma^2)\\ &\implies \frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim^{n\to\infty}N(0,1),即\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right\} =\Phi(x)\\ [例1]&\color{maroon}假设X_1,X_2,\cdots,X_n\sim^{iid}P(\lambda),则\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\underline{\quad}\\ &\begin{cases}E(\sum_{i=1}^n X_i)=n\lambda\\D(\sum_{i=1}^n X_i)=n\lambda\end{cases}\\ &\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\Phi(x)\\ \end{aligned} [例1]不论Xi∼iidF(μ,σ2),μ=EXi,σ2=DXi⟹i=1∑nXi∼n→∞N(nμ,nσ2)⟹n σ∑i=1nXi−nμ∼n→∞N(0,1),即n→∞limP{n σ∑i=1nXi−nμ≤x}=Φ(x)假设X1,X2,⋯,Xn∼iidP(λ),则n→∞limP{nλ ∑i=1nXi−nλ≤x}={E(∑i=1nXi)=nλD(∑i=1nXi)=nλn→∞limP{nλ ∑i=1nXi−nλ≤x}=Φ(x) 数理统计初步 总体与样本 1. 总 体 X ∼ F ( x ) 2. 样 本 X i ∼ i i d F ( x ) \begin{aligned} 1.&总体\quad X\sim F(x)\\ 2.&样本\quad X_i\sim^{iid}F(x)\\ \end{aligned} 1.2.总体X∼F(x)样本Xi∼iidF(x) 点估计 1. 矩 估 计 ( 1 ) X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i ( 样 本 估 计 ) ( 2 ) E X ( 客 观 存 在 的 均 值 ) ( 3 ) E X = X ‾ ( 强 行 令 其 相 等 ) 2. 最 大 似 然 估 计 参 数 = ？ 时 ， 观 测 值 出 现 的 概 率 最 大 ( 1 ) 写 L ( θ ) = { ∏ i = 1 n p ( x i , θ ) ∏ r = 1 n f ( x i , θ ) ( 2 ) { 令 d L ( θ ) d θ = 0 ⟹ θ ^ d ln L ( θ ) d θ = 0 ⟹ θ ^ L ( θ ) 关 于 θ 单 调 ⟹ 定 义 \begin{aligned} 1.&矩估计\\ (1)&\overline{X}=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i(样本估计)\\ (2)&EX(客观存在的均值)\\ (3)&EX=\overline{X}(强行令其相等)\\ 2.&最大似然估计\\ &参数=？时，观测值出现的概率最大\\ (1)&写L(\theta)=\begin{cases}\prod_{i=1}^np(x_i,\theta)\\\prod_{r=1}^nf(x_i,\theta)\end{cases}\\ (2)&\begin{cases}令\frac{dL(\theta)}{d\theta}=0\implies\hat{\theta}\\\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0\implies \hat{\theta}\\L(\theta)关于\theta单调\implies 定义\end{cases} \end{aligned} 1.(1)(2)(3)2.(1)(2)矩估计X=n1i=1∑nXi(样本估计)EX(客观存在的均值)EX=X(强行令其相等)最大似然估计参数=？时，观测值出现的概率最大写L(θ)={∏i=1np(xi,θ)∏r=1nf(xi,θ)⎩⎪⎨⎪⎧令dθdL(θ)=0⟹θ^dθdlnL(θ)=0⟹θ^L(θ)关于θ单调⟹定义 [ 例 1 ] X ∼ ( 0 1 2 3 θ 2 2 θ ( 1 − θ ) θ 2 1 − 2 θ ) , 0 < θ < 1 2 , 从 X 中 抽 : 3 , 1 , 3 , 0 , 3 , 1 , 2 , 3. 求 θ 得 矩 估 计 值 与 最 大 似 然 估 计 值 ( 1 ) 1. x ‾ = 1 8 ( 3 + 1 + 3 + 0 + 3 + 1 + 2 + 3 ) = 2 2. E X = 0 ⋅ θ 2 + 1 ⋅ 2 θ ( 1 − θ ) + 2 θ 2 + 3 ( 1 − 2 θ ) = 3 − 4 θ 3. 令 3 − 4 θ = 2 ⟹ θ ^ = 1 4 ( 2 ) L ( θ ) = ( 1 − 2 θ ) 4 [ 2 θ ( 1 − θ ) ] 2 θ 2 θ 2 = 4 θ 6 ( 1 − θ ) 2 ( 1 − 2 θ ) 4 ⟹ ln L ( θ ) = ln 4 + 6 ln θ + 2 ln ( 1 − θ ) + 4 ln ( 1 − 2 θ ) ⟹ d ln L ( θ ) d θ = 6 θ + − 2 1 − θ + 4 ( − 2 ) 1 − 2 θ = 0 θ = 7 ± 13 12 ⟹ θ ^ = 7 − 13 12 [ 例 2 ] X ∼ F ( x , α , β ) = { 1 − ( α x ) β , α ≤ x 0 , α > x , α ≥ 1 , β > 1 , X 1 , X 2 , ⋯ , X n ∼ i i d X , 求 ( 1 ) α = 1 , β 的 矩 估 计 量 ( 2 ) α = 1 , β 的 最 大 似 然 估 计 量 ( 3 ) β = 2 , α 的 最 大 似 然 估 计 量 ( 1 ) α = 1 ⟹ X ∼ F ( x , β ) = { 1 − 1 x β , x ≥ 1 0 , x < 1 x ∼ f ( x , β ) = { β x β + 1 , x ≥ 1 0 , x < 1 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i E X = ∫ 1 + ∞ x ⋅ β x β + 1 d x = β β − 1 X ‾ = β β − 1 ⟹ β ^ = x ‾ x ‾ − 1 ( 2 ) L ( β ) = { β n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) β + 1 , x i ≥ 1 0 , 其 他 ⟹ ln L ( β ) = n ln β − ( β + 1 ) ∑ i = 1 n ln x i ⟹ d ln L ( β ) d β = n β − ∑ i = 1 n ln x i = 0 ⟹ β ^ = n ∑ i = 1 n ln x i ( 3 ) β = 2 , X ∼ F ( x , α ) = { 1 − α 2 x 2 , α ≤ x 0 , α > x ⟹ x ∼ f ( x , α ) = { 2 α 2 x 3 , α ≤ x 0 , α > x L ( α ) = { 2 n ⋅ α 2 n ( x 1 x 2 ⋯ x n ) 3 , x i ≥ α 0 , 其 他 ⟹ 一 切 x i ≥ α ⟹ ln L ( α ) = n ln 2 + 2 n ln α − 3 ∑ i = 1 n ln x i ⟹ α ln 2 ( α ) d α = 2 n α > 0 ⟹ L ( α ) 关 于 α α ^ = m i n { x 1 , x 2 , ⋯ , x n } \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}X\sim\begin{pmatrix}0&1&2&3\\\theta^2&2\theta(1-\theta)&\theta^2&1-2\theta\end{pmatrix},0<\theta<\frac12,从X中抽:3,1,3,0,3,1,2,3.\\ &\color{maroon}求\theta得矩估计值与最大似然估计值\\ (1)&1.\overline{x}=\frac18(3+1+3+0+3+1+2+3)=2\\ &2.EX=0\cdot\theta^2+1\cdot2\theta(1-\theta)+2\theta^2+3(1-2\theta)=3-4\theta\\ &3.令3-4\theta=2\implies \hat{\theta}=\frac14\\ (2)&L(\theta)=(1-2\theta)^4[2\theta(1-\theta)]^2\theta^2\theta^2=4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4\\ &\implies \ln L(\theta)=\ln4+6\ln \theta+2\ln(1-\theta)+4\ln(1-2\theta)\\ &\implies \frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\frac6\theta+\frac{-2}{1-\theta}+\frac{4(-2)}{1-2\theta}=0\\ &\theta=\frac{7\pm\sqrt{13}}{12}\implies\hat{\theta}=\frac{7-\sqrt{13}}{12}\\ [例2]&\color{maroon}X\sim F(x,\alpha,\beta)=\begin{cases}1-(\frac{\alpha}{x})\beta,\alpha\leq x\\0,\alpha>x\end{cases},\alpha\geq1,\beta>1,X_1,X_2,\cdots,X_n\sim^{iid}X,求\\ &\color{maroon}(1)\alpha=1,\beta的矩估计量\\ &\color{maroon}(2)\alpha=1,\beta的最大似然估计量\\ &\color{maroon}(3)\beta=2,\alpha的最大似然估计量\\ &(1)\alpha=1\implies X\sim F(x,\beta)=\begin{cases}1-\frac1{x^{\beta}},x\geq1\\0,x<1\end{cases}\\ &x\sim f(x,\beta)=\begin{cases}\frac{\beta}{x^{\beta+1}},x\geq1\\0,x<1\end{cases}\\ &\overline{X}=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\\ &EX=\int_1^{+\infty}x\cdot\frac{\beta}{x^{\beta+1}}dx=\frac{\beta}{\beta-1}\\ &\overline{X}=\frac{\beta}{\beta-1}\implies \hat{\beta}=\frac{\overline{x}}{\overline{x}-1}\\ &(2)L(\beta)=\begin{cases}\frac{\beta^n}{(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{\beta+1}},x_i\geq1\\0,其他\end{cases}\\ &\implies \ln L(\beta)=n\ln\beta-(\beta+1)\sum_{i=1}^n\ln x_i\\ &\implies \frac{d\ln L(\beta)}{d\beta}=\frac{n}{\beta}-\sum_{i=1}^n\ln x_i=0\implies \hat{\beta}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\ln x_i}\\ &(3)\beta=2,X\sim F(x,\alpha)=\begin{cases}1-\frac{\alpha^2}{x^2},\alpha\leq x\\0,\alpha>x\end{cases}\\ &\implies x\sim f(x,\alpha)=\begin{cases}\frac{2\alpha^2}{x^3},\alpha\leq x\\0,\alpha>x\end{cases}\\ &L(\alpha)=\begin{cases}\frac{2^n\cdot\alpha^{2n}}{(x_1x_2\cdots x_n)^3},x_i\geq\alpha\\0,其他\end{cases}\\ &\implies 一切x_i\geq\alpha\implies \ln L(\alpha)=n\ln2+2n\ln\alpha-3\sum_{i=1}^n\ln x_i\implies \frac{\alpha\ln2(\alpha)}{d\alpha}=\frac{2n}{\alpha}>0\\ &\implies L(\alpha)关于\alpha\\ &\hat{\alpha}=min\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\\ \end{aligned} [例1](1)(2)[例2]X∼(0θ212θ(1−θ)2θ231−2θ),0<θ<21,从X中抽:3,1,3,0,3,1,2,3.求θ得矩估计值与最大似然估计值1.x=81(3+1+3+0+3+1+2+3)=22.EX=0⋅θ2+1⋅2θ(1−θ)+2θ2+3(1−2θ)=3−4θ3.令3−4θ=2⟹θ^=41L(θ)=(1−2θ)4[2θ(1−θ)]2θ2θ2=4θ6(1−θ)2(1−2θ)4⟹lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1−θ)+4ln(1−2θ)⟹dθdlnL(θ)=θ6+1−θ−2+1−2θ4(−2)=0θ=127±13 ⟹θ^=127−13 X∼F(x,α,β)={1−(xα)β,α≤x0,α>x,α≥1,β>1,X1,X2,⋯,Xn∼iidX,求(1)α=1,β的矩估计量(2)α=1,β的最大似然估计量(3)β=2,α的最大似然估计量(1)α=1⟹X∼F(x,β)={1−xβ1,x≥10,x<1x∼f(x,β)={xβ+1β,x≥10,x<1X=n1i=1∑nXiEX=∫1+∞x⋅xβ+1βdx=β−1βX=β−1β⟹β^=x−1x(2)L(β)={(x1,x2,⋯,xn)β+1βn,xi≥10,其他⟹lnL(β)=nlnβ−(β+1)i=1∑nlnxi⟹dβdlnL(β)=βn−i=1∑nlnxi=0⟹β^=∑i=1nlnxin(3)β=2,X∼F(x,α)={1−x2α2,α≤x0,α>x⟹x∼f(x,α)={x32α2,α≤x0,α>xL(α)={(x1x2⋯xn)32n⋅α2n,xi≥α0,其他⟹一切xi≥α⟹lnL(α)=nln2+2nlnα−3i=1∑nlnxi⟹dααln2(α)=α2n>0⟹L(α)关于αα^=min{x1,x2,⋯,xn}