数学模型算出最佳超售票数
在 1958 年， Beckmann 最早提出了一个非动态的超售模型，这个模型的目标是将座位虚耗与超售成本的和尽可能的最小化。而到了 1961 年， Thompson 提出了另一个模型，他忽略了旅客需求的概率分布和超售成本，提出了超售研究中一个关于座位取消概率的重要假设：一个座位的取消概率并不依赖于这个座位是个人订座还是团体订座，同时也不依赖于订座的时间。1971年， Rothstein 在他的博士论文中提出了一个动态预定模型，对于只有一种乘客的无中停站航班，他利用 Bellman 的最优化原理得到最优超售策略。到 1978 年，美国经济学家 Julian Simon 又提出一个关于超售的补偿方案，方法很简单，超售需要改进的地方就是航空公司在售票的同时，交给客户一个信封和一份投标书，让顾客们填写他们可以接受的延期飞行的最低赔偿金额并装进信封密封。一旦飞机出现超载，公司可选择其中要求赔偿金额数目最低的人给予现金补偿，并优先售给他们下一班飞机的机票。如此一来各方受益，就不会有任何人受到损害。这是个很聪明的方法，有效防止了某些蒙受损失的旅客朝航空公司漫天要价。 1980 年， Hersh 和 Brosh 提出一个模型，他们假设存在一条即时服务通道，把系统看作一个排队系统来进行超售。最终到 1992年， ChatWin 建立了航空公司单一票价多阶段的超售模型，并证明了最优解的存在。
不过每个航空公司具体采用的超售模型都是商业机密，下面我们仅仅从最简单的层面来分析一下超售模型的建立。
首先，机票超售的数量越多，那么飞机离港时出现空位的可能性就越小，但是旅客被拒绝登机的可能性就越大，造成拒绝登机损失增加。而机票超售数量越小，被拒登机的可能性就越小，但出现空位的可能性就越大，造成空位损失增大，它们之间的变化关系如下图所示：
我们无非想知道怎么设定能收益最大，这个值受到如下若干参数的影响：
m：航班起飞前订票的人数
c：常数，航班飞机实有的座位数
p：常数，机票价格，这里假设只有一种舱位，单一票价模型
b：常数，DB发生时，拒绝一名旅客登机给航空公司造成的损失
r ：随机变量，起飞时顾客到达率
f(r)：顾客到达率的概率密度函数；
k：常数，航班一次飞行的总成本
e：航班一次飞行的总收益
据此我们写出超售的收益表达式：
则收益 e 的期望 E 为：
因为我们要考虑如何取 m 使得收益最大，于是期望收益 E 对 m 求导，就得到：
也就是说，要使收益期望 E 达到最大值，c/m 的取值需要让方程两边的积分相等。如图所示就是 p （单张机票价格）乘上 R 1 部分的面积等于 b （赔付一名旅客所需费用）乘上 R 2 部分的面积。
如果 p 增加，要保持等式 P R 1 = b R 2 成立，则 R 1 就要变小，也就是说 c/m 的值向左偏移，则 m 变大就是说机票价格越高，超售数量也应随之增加。如果 b 增加，则 R 2 就要变小，也就是说 c/m 向右做移，超售数量变少。
这个结论这与航空公司的实际操作也是相符的，机票价格越高，则超售的机票越多越好。赔偿费用越高，则超售的机票越少越好。根据不同的概率密度模型，机票价格和赔偿费用对超售数的影响都有所区别，不过在大多数模型中，超售票数对机票价格并不如赔偿费用敏感，所以超售数仍然更多取决于航空公司对蒙受损失的旅客的赔偿费用。目前国内航空公司的超售数基本上一趟航班不超过 5 张。
相比赔付费用来说，现在航空公司可能更担心因旅客未能登机而导致的声誉受损。而对我们普通人来说，遇上买了票没登机的几率着实不大，倒是总是晚点更让人闹心。